Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E为AB的中点，现将△AED沿DE折起，使点A到点P处，满足PB=PC，设M、H分别为PC、DE的中点．
（1）求证：BM∥平面PDE；
（2）线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面PHN？试证明你的结论；
（3）求△PBC的面积．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点F，连接EF，FM
由条件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB，且FM=EB
则四边形EFMB是平行四边形
则BM∥EF
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE；
解：（2）当N为BC的中点时，BC⊥平面PHN，理由如下：
由题意得，HN为直角梯形BCDE的中位线
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN，
（3）由（2）中结论可得，BC⊥PH，
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
则PH⊥HN，即△PHN为直角三角形
∵AB=2AD=4，E为AB的中点
∴BC=2，HN=3，PH=，则PN=
∴△PBC的面积S=•BC•PN=
分析：（1）取PD的中点F，连接EF，FM，由中位定理，及平行四边形判定定理易得四边形EFMB是平行四边形，进而BM∥EF，再由线面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；
（2）取N为BC的中点，连接HN，易得HN为直角梯形BCDE的中位线，结合PB=PC，我们可得HN⊥BC，PN⊥BC，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PHN；
（3）由已知中△PBC是以BC为底，PN为高的三角形，根据（2）的结论，我们易得△PHN为直角三角形，根据已知中AB=2AD=4，求出△PBC的底边长和高，代入三角形面积公式，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键．