Question

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）•e^-x．
（1）如果a=b=-3，求f（x）的单调区间和极值；
（2）如果a=6+

1

n

，b=5+

1

n

，n∈N^*，n≥1，函数f（x）在x=a_n处取得极值．
（i）求证：∑_i-1ⁿ

1

(1+i)2ai

＜a_n（ii）求证：f（a_n）＞a（a_n+1）＞

15

e

．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）求导，利用导函数的符号求解单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）利用导数研究函数f（x）的极值，根据g（x）=x³+

1

n

x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=

1

n

＞0，则x³+

1

n

x-1=0有唯一解，
（i）因为0＜a_i＜1，则有a_i³＜a_i，从而

ai

i

=1-

a

3 i

＞1-ai，所以ai ＞

i

1+i

，从而

1

(1+i)2ai

＜

1

i(i+1)

，

n

i=1

1

(1+i)2ai

＜

n

i=1

1

i(i+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

由ai ＞

i

1+i

可得an＞

n

1+n

，所以

n

i=1

1

(1+i)2ai

＜an；
（ii）根据题意可知

a

3 n

+

an

n

=1，又

a

3 n+1

+

an+1

n+1

=1，两式相减得1＞a_n+1＞a_n＞0，构造函数g（x）=

(2x

n

+6x +6+

1

x

)e-x，x∈（0，1），g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，则g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=

15

e

，即可证得结论．

解答：解：（1）当a=b=-3时，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调递增，在（-3，0），（3，+∞）单调递减；
极大值为f（-3）=6e³，f（3）=42e^-3，极小值为f（0）=-3
（2）a=6+

1

n

，b=5+

1

n

，f（x）=[x³+3x²+（6+

1

n

）x+（5+

1

n

）]e^-x，
f′（x）=-[x³+3x²+（6+

1

n

）x+（5+

1

n

）]e^-x+[3x²+6x+（6+

1

n

）]e^-x=-e^-x（x³+

1

n

x-1）
令f′（x）=-e^-x（x³+

1

n

x-1）=0即x³+

1

n

x-1=0
因为g（x）=x³+

1

n

x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=

1

n

＞0
∴x³+

1

n

x-1=0有唯一解
（i）因为0＜a_i＜1，则有a_i³＜a_i，

a

3 i

+

ai

i

=1，

ai

i

=1-

a

3 i

＞1-ai
所以ai ＞

i

1+i

所以

1

(1+i)2ai

＜

1

i(i+1)

n

i=1

1

(1+i)2ai

＜

n

i=1

1

i(i+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

由ai ＞

i

1+i

可得an＞

n

1+n

，所以

n

i=1

1

(1+i)2ai

＜an
（ii）证明：

a

3 n

+

an

n

=1显然0＜a_n＜1
又

a

3 n+1

+

an+1

n+1

=1，两式相减得(an+1-an)  (

a

2 n+1

+an+1an+

a

2 n

+

1

n

)＞0
所以a_n+1＞a_n，故1＞a_n+1＞a_n＞0
f（a_n）=（3

a

2 n

+6an+6+

1

n

）e-an，又

a

3 n

+

an

n

=1，所以

1

n

=

1- a 3 n

an

所以f（a_n）=（

2a

2 n

+6an+6+

1

an

） e-an，a_n∈（0，1）
构造函数g（x）=

(2x

n

+6x +6+

1

x

)e-x，x∈（0，1）
g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，
又1＞a_n+1＞a_n＞0
所以g（a_n）＞g（a_n+1）＞g（1）=

15

e

即f（a_n）＞f（a_n+1）＞

15

e

．

点评：本题主要考查了利用导函数求解单调区间的问题，要求同学们掌握好导函数与函数的关系，以及导函数的性质和证明不等式，属于难题．