Question

已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.

(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;

(3)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.

Answer 1

思路分析：为应用题设条件,必须将向量用坐标表示,通过坐标进行计算,从而使问题解决.

解：(1)设a=(a₁,a₂),b=(b₁,b₂),

则ma+nb=(ma₁+nb₁,ma₂+nb₂).

∴f(ma+nb)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁).

∴mf(a)+nf(b)

=m(a₂,2a₂-a₁)+n(b₂,2b₂-b₁)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁).

∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1);f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).

∴.

∴x=2p-q,

即向量c=(2p-q,p).

方法归纳 证明等式成立,可以由一边开始证,得它等于另一边;也可证明左右两边等于同一式子;还可先证明一个式子成立,再推出要证明的式子成立.