Question

【题目】已知点及圆：.

（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；

（2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程；

（3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）分两种情况：当直线的斜率存在时，设出直线的斜率k，由P的坐标和设出的k写出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线的方程即可，当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，经过验证符合题意；

（2）利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长的一半及半径，利用勾股定理求出项心距d，发现与d相等，得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；

（3）关于是否存在类问题，假设是存在的，根据条件，列出等量关系式，求得结果即可.

（1）圆C的圆心为，半径，

当的斜率存在时，设直线的斜率为, 则方程为.

依题意得 ，

解得. 所以直线的方程为，即 .

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.

（2）由于，

而弦心距，

所以 .

所以为的中点.

故以为直径的圆的方程为.

（3）直线即,代入圆的方程，消去，整理得

．

由于直线交圆于两点，

故，

解得． 则实数的取值范围是．

若存在实数，使得过点的直线垂直平分弦,则圆心必在上．

所以的斜率，

而，所以．

由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．