Question

 圆x²+y²=9的动弦AB垂直于x轴，P 为AB上的点，且︱AP︱·︱BP︱=4，（1）求点P的轨迹；（2）若M（x，y）是（1）中曲线上任一点，求t=的取值范围。

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）∵弦AB垂直于x轴，∴x_A=x_B，y_A=-y_B∴设A（x，y₁），B（x，-y₁），P（x，y）

       ∵︱AP︱·︱BP︱=4，∴ ·=4

即︱y-y₁︱·︱y+y₁︱=4 ∴︱y²-y₁²︱=4

∵A（x，y₁）在圆上，∴y₁²=9-x²

∴︱ x²+ y²-9︱=4

∵P（x，y）在圆内，∴x²+ y²＜9

∴9-（x²+ y²）=4

∴所求轨迹方程为x²+ y²=5是以（0，0）为圆心，r=的圆

（2）t=可看作x²+ y²=5上的一点（x，y）与（3，-1）连线的斜率，由图知t的最值，即为圆x²+ y²=5的切线的斜率。设切线方程为y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0

∴=，即2k²+3k-2=0，

∴k=-2或 k=

∴t_max=-2，t_min=