Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若函数在区间上存在正的极值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）

【解析】

（1）求导后，根据导函数的正负可确定所求的单调区间；

（2）求导后可知的正负由决定，利用导数可求得单调性和最值，根据在上有极值，可知，解不等式求得；分别在和两种情况下，根据单调性确定上的极值，结合导数确定极值的正负，从而得到结果.

（1）当时，，其定义域为.

，令得：，令得：，

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），

，

令，，则.

令得：，令得：，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又，，，显然.

若函数在区间上存在极值，则，解得：.

①当，即时，一定存在，使得，

不妨设，则此时，在区间上为负，在区间上为正，在区间上为负，

在区间上为负，在区间上为正，在区间上为负，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，.

当时，函数在区间上存在两个极值，，且.

，令，其中.

，在区间上单调递增，

即当时，，，

当时，函数在区间上的极值满足，即函数在区间上存在正的极值.

②当，即时，一定存在，使得，使得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

则函数在区间上的极大值是，且，

当时，函数在上存在正的极值.

综上所述：当时，函数在区间上存在正的极值.