Question

已知△ABC的面积为3，且满足0≤

AB

•

AC

≤6，设

AB

和

AC

的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin²(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角形的面积，数量积的范围，推出关系式，然后求出θ的取值范围；
（Ⅱ）利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f（θ）=2sin²(

π

4

+θ)-

3

cos2θ为一个角的一个三角函数的形式，根据（Ⅰ）的范围，求出函数的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由

1

2

bcsinθ=3，0≤bccosθ≤6，可得0≤cotθ≤1，∴θ∈[

π

4

，

π

2

]．

（Ⅱ）f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ
=[1-cos(

π

2

+2θ)]-

3

cos2θ
=(1+sin2θ)-

3

cos2θ
=sin2θ-

3

cos2θ+1
=2sin(2θ-

π

3

)+1．
∵θ∈[

π

4

，

π

2

]，2θ-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴2≤2sin(2θ-

π

3

)+1≤3．
即当θ=

5π

12

时，f（θ）_max=3；当θ=

π

4

时，f（θ）_min=2．

点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．