Question

9．如右图所示，PA为圆O的切线，切点为A，AC是直径，M为PA的中点，MC与圆交于点B．
求证：（I）PM²=MB•MC
（Ⅱ）∠MBP+∠ACP=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据切割线定理，得到AM是MB和MC的比例中项，结合AM=MP即可证明PM²=MB•MC；
（Ⅱ）由MP²=MB•MC得$\frac{PM}{MC}$=$\frac{MB}{PM}$，再结合公共角∠BMP=∠PMC，得三角形BMP与三角形PMC相似，从而得到对应角相等，命题得证．

解答 证明：（Ⅰ）∵AM切圆于点A
∴AM²=MB•MC
又∵M为PA中点，AM=MP
∴MP²=MB•MC；
（Ⅱ）∵MP²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}$=$\frac{MB}{PM}$，
又∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（边角边）
∴∠MBP=∠MPC．
∵PA为圆O的切线，切点为A，AC是直径，
∴∠MBP+∠ACP=∠MPC+∠ACP=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来证明角的相等，是解决本题的关键．