Question

14．双曲线的方程是$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，点P在双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=36．则△F₁PF₂的面积是9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线方程求出a、b、c，由双曲线的性质求出||PF₁|-|PF₂||=8，|F₁F₂|=10，由条件和余弦定理求出cos∠F₁PF₂的值，由平方关系求出sin∠F₁PF₂，根据三角形的面积公式求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：由题意可得，a=4、b=3，则c=5，
则||PF₁|-|PF₂||=8，|F₁F₂|=10，
又|PF₁|•|PF₂|=36，则在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{{F}_{1}|}^{2}+|P{{F}_{2}|}^{2}-|{F}_{1}{{F}_{2}|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{（|P{{F}_{1}|-|P{F}_{2}|）}^{2}+2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{{F}_{2}|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{64+2×36-100}{2×36}$=$\frac{1}{2}$，
则sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$×|PF₁|•|PF₂|×sin∠F₁PF₂
=$\frac{1}{2}×36×\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，
故答案为：9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质，余弦定理、同角三角函数关系式，以及三角形的面积公式等，属于中档题．