Question

2．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）求证：平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析 （I）要证DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG）；
（II）欲证平面AEF⊥平面BCC₁B₁，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC₁B₁即可．

解答 证明：（I）设G是AB的中点，连接DG，FG
则DG$\stackrel{∥}{=}$EC，
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．
（II）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴AF⊥CC₁，
∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC
又BC∩CC₁=C，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及线面关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查逻辑思维能力，是中档题．