Question

10．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1．
（1）若椭圆C₂：$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．
（2）设出椭圆C_b的方程，直线l_MN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线l_MN的方程，根据直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．

解答 解：（1）椭圆C₂与C₁相似．-------------------（2分）
因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为4$\sqrt{3}$的等腰三角形，而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为2$\sqrt{3}$的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1-------------------（4分）
（2）C_b：$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}$=1或$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{{4{b^2}}}$=1
设l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
则x₀=$\frac{4t}{5}$，y₀=$\frac{t}{5}$------------------（9分）
因为中点在直线y=x+1上，所以有$\frac{t}{5}$=$\frac{4t}{5}$+1，t=-$\frac{5}{3}$-------------------（10分）
即直线l_MN的方程为：y=-x-$\frac{5}{3}$，
由题意可知，直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，
即方程5x²-8×（-$\frac{5}{3}$）x+4[（-$\frac{5}{3}$）²-b²]=0有两个不同的实数解，
所以$△=\frac{1600}{9}$-4×5×4×[（-$\frac{5}{3}$）²-b²]＞0，即b＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决的关键．