Question

16．定义在R上的函数f（x）=x²+|x-a|+2．（a为常数）
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数在R上的最小值．

Answer 1

分析 （1）分两类讨论，①当a=0时，f（x）为偶函数；②当a≠0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）先将函数表示为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}-a，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}+a，x＜a}\end{array}\right.$，再结合二次函数的图象和性质，得出f（x）的单调区间，从而确定f（x）的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+|x-a|+2的奇偶性，需要分下列两类讨论：
①当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），
所以，函数f（x）为偶函数；
②当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a）且f（a）≠-f（-a），
所以，函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}-a，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^2+\frac{7}{4}+a，x＜a}\end{array}\right.$，函数的最小值需分三类讨论如下：
①当a＞$\frac{1}{2}$时，结合二次函数的图象得出f（x）的单调区间为：
f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）单调递减，在（$\frac{1}{2}$，a）单调递增，（a，+∞）单调递增，
所以，仅当x=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$+a；
②当-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，
所以，f（x）_min=f（a）=a²+2；
③当a＜-$\frac{1}{2}$时，结合二次函数的图象得出f（x）的单调区间为：
f（x）在（-∞，a）单调递减，在（a，-$\frac{1}{2}$）单调递减，（-$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，
所以，仅当x=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$-a；
综合以上讨论得，函数f（x）的最小值f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{4}+a，a＞\frac{1}{2}}\\{a^2+2，-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}}\\{\frac{7}{4}-a，a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，并充分利用二次函数的图象和性质判断分段函数的单调区间和最值，体现了分类讨论与数形结合的解题思想，属于难题．