Question

1．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠BCD=120°，是否在线段AE上存在一点M，使得DM∥平面EBC，若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；
（2）M为线段AE的中点时，DM∥平面EBC，
证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC；
证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=$\frac{1}{2}$AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论

解答 证明：（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，
又已知CE⊥BD，EC∩CO=C，
所以BD⊥平面OCE．

所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，
所以BE=DE．
（2）M为线段AE的中点时，DM∥平面EBC，理由如下：
证法一：
取AB中点N，连接MN，DN，

∵M是AE的中点，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC
证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，

∵CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，∠ABC=90°，因此∠AFB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AF，
又AB=AD，
∴D为线段AF的中点，连接DM，DM∥EF，又DM?平面BEC，EF?平面BEC，
∴DM∥平面BEC．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．