Question

19．在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．

（1）求证：CD∥平面AEF；
（2）求证：平面AEF⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；
（2）由线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可证得．

解答 证明：（1）取AF中点M，连结DM，EM，
∵D，M分别是AB，AF的中点
∴DM是△ABF的中位线，
∴DM平行且等于$\frac{1}{2}$BF且CE平行且等于$\frac{1}{2}$BF，
四边形CDME是平行四边形，∴CD∥EM，
又EM?面AEF且CD?面AEF
∴CD∥面AEF；
（2）证明：由左图知CE⊥AC，CE⊥BC，
且右图中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD?面ABC
∴CE⊥CD，∴四边形CDME为矩形，则EM⊥MD，
△AEF中EA=EF，M为AF的中点，
∴EM⊥AF，
∵AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，
又EM?面AEF，∴面AEF⊥面ABF．

点评 本题主要考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定和性质定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．