Question

4．已知函数f（x）=log_a$\frac{λx-2}{x+2}$为奇函数（其中a＞0且a≠1，λ为常数）．
（1）求出λ的值；
（2）设g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{λx-2}{x+2}$•$\frac{1}{x-4}$）（x＞5），求g（x）的值域；
（3）设φ（x）=log_a$\frac{λx-2}{x+2}$是定义域[m，n]上的单调递增减函数，其值域为[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接运用奇函数的定义，由f（-x）=-f（x）解得λ=1；
（2）先将函数化为g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$的性质，再根据函数的单调性确定其值域；
（3）分两类讨论，当0＜a＜1时，函数φ（x）单调递减，当a＞1时，函数φ（x）单调递增，再根据单调性确定相应的等量关系，解出a的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）为奇函数，所以，f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{λx-2}{x+2}$=-log_a$\frac{-λx-2}{-x+2}$，所以，$\frac{λx-2}{x+2}$•$\frac{-λx-2}{-x+2}$=1，
整理得，（1-λ²）•x²=0，解得，λ=1（舍去-1），
即λ=1，此时f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$；
（2）由（1）得g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{（x+2）（x-4）}$
=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-2}{（x-2）^2+2（x-2）-8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$
当x∈（5，+∞），x-2-$\frac{8}{x-2}$+2单调递增，
∴x-2-$\frac{8}{x-2}$+2∈（$\frac{7}{3}$，+∞），则$\frac{1}{（x-2）-\frac{8}{x-2}+2}$∈（0，$\frac{3}{7}$），
所以，g（x）∈（log₂$\frac{7}{3}$，+∞），
即函数g（x）的值域为：（log₂$\frac{7}{3}$，+∞）；
（3）因为φ（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$=log_a（1-$\frac{4}{x+2}$），函数的定义域为：（-∞，-2）∪（2，+∞），
①当0＜a＜1时，φ（x）在（-∞，-2），（2，+∞）都是单调递减的，
所以，当x∈[m，n]，φ（x）_min=g（n），φ（x）_max=g（m），
即φ（x）_min=log_a$\frac{n-2}{n+2}$=log_aa（n-1），φ（x）_max=log_a$\frac{m-2}{m+2}$=log_aa（m-1），
所以，an²+（a-1）n-2a+2=0，am²+（a-1）m-2a+2=0，
则m，n为方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的两个同号的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{2-2a}{a}＞0}\\{（a-1）^2-4a（-2a+2）＞0}\end{array}\right.$，解得，0＜a＜$\frac{1}{9}$；
②当a＞1时，φ（x）在（-∞，-2），（2，+∞）都是单调递增的，
则φ（x）_min=log_a$\frac{m-2}{m+2}$=log_aa（n-1），φ（x）_max=log_a$\frac{n-2}{n+2}$=log_aa（m-1），
则m-2=a（n-1）（m+2），n-2=a（m-1）（n+2），
两式相减并整理得，m-n=3a（n-m），m≠n，解得，a=-$\frac{1}{3}$（舍去）．
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（0，$\frac{1}{9}$）．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及运用函数的单调性确定函数的值域，体现了分类讨论与数形结合的解题思想，属于难题．