【题目】已知函数f(x)=sin2x+2 sin2x+1﹣
.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[ ,
]时,若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=sin2x﹣ cos2x+1=2sin(2x﹣
)+1,
∵ω=2,
∴函数f(x)最小正周期是T=π;
当2kπ﹣ ≤2x﹣
≤2π+
,k∈Z,
即kπ﹣ ≤x≤kπ+
,k∈Z,
函数f(x)单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+
],k∈Z
(2)解:∵x∈[ ,
],
∴2x﹣ ∈[0,
],
∴f(x)=2sin(2x﹣ )+1的最小值为1,
由f(x)≥log2t恒成立,得log2t≤1=log22恒成立,
∴0<t≤2,
即t的取值范围为(0,2]
【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期,根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间;(2)由x的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出f(x)的最小值,根据f(x)≥log2t恒成立,得到log2t小于等于f(x)的最小值,即可确定出t的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识,掌握两角和与差的正弦公式:,以及对正弦函数的单调性的理解,了解正弦函数的单调性:在
上是增函数;在
上是减函数.
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【题目】(1)椭圆C:+
=1(a>b>0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:
为定值b2﹣a2.
(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:=1(a>0,b>0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,则
为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).
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【题目】近年来,武汉市出现了非常严重的雾霾天气,而燃放烟花爆竹会加重雾霾,是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题.武汉市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹,对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查,结果如下表:
赞成禁放 | 不赞成禁放 | 合计 | |
老年人 | 60 | 140 | 200 |
中青年人 | 80 | 120 | 200 |
合计 | 140 | 260 | 400 |
附:K2=
P(k2>k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(1)有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关?请说明理由;
(2)从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人,再从这13人中随机的挑选2人,了解他们春节期间在烟花爆竹上消费的情况.假设一位老年人花费500元,一位中青年人花费1000元,用X表示它们在烟花爆竹上消费的总费用,求X的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(13分)
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(II)求证:PD⊥平面PBC;
(II)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】设向量 =(
sinx,sinx),
=(cosx,sinx),x∈(0,
).
(1)若| |=|
|,求x的值;
(2)设函数f(x)= ,求f(x)的最大值.
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【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.
(1)请完成上面的列联表;
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(2)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
参考公式与临界值表 .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某校高一年级开设A,B,C,D,E五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中甲同学必选A课程,不选B课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.
(1)求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率;
(2)用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和,求X的分布列和数学期望.
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