Question

【题目】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2﹣a2．

（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设点P（x0，y0），x0≠±a，依题意，得A（﹣a，0），B（a，0），从而得直线PA的方程，继而求得点M，N的纵坐标，得到yMyN=，把点P（x0，y0），代入椭圆方程可求得yMyN==b2，从而得=b2﹣a2．

（2）类比（1）的结论，可得的值．

（1）证明：设点P（x0，y0），x0≠±a，

依题意，得A（﹣a，0），B（a，0），

∴直线PA的方程为y=（x+a）

令x=0，得yM=

同理得yN=

∴yMyN=，

∵点P（x0，y0）是椭圆C上一点，

∴=1，=（a2﹣），

∴yMyN==b2，

=（a，yN），=（﹣a，yM），

∴=﹣a2+yMyN=b2﹣a2

（2）﹣（a2+b2）