Question

7．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为③④⑥
①$\overrightarrow a=（sinα，1），\overrightarrow b=（cosα，-1），则存在实数α，使得\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$
②若$\overrightarrow a=（2，2），\overrightarrow b=（sinα-1，\frac{1}{2}-cosα），则存在实数α，使得\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
③函数$y=sin（x+\frac{3π}{2}）$是偶函数
④x=$\frac{π}{8}是函数y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一条对称抽方程
⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ
⑥$若α，β∈（{\frac{π}{2}，π}）且tanα＜\frac{1}{tanβ}，则π＜α+β＜\frac{3π}{2}$．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，即可判断①；
由向量共线的坐标表示和辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可判断②；
运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断③；
由代入法，求得最值，即可判断④；可令α=390°，β=30°，求出正弦值，即可判断⑤；
由两角和的正切公式，结合条件，即可判断⑥．

解答 解：对于①，由$\overrightarrow{a}$=（sinα，1），$\overrightarrow{b}$=（cosα，-1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinαcosα-1=0，即sin2α=2，不成立，故①错；
对于②，由$\overrightarrow{a}$=（2，2），$\overrightarrow{b}$=（sinα-1，$\frac{1}{2}$-cosα），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
可得2（$\frac{1}{2}$-cosα）=2（sinα-1），即有sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，
由sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，可得α不存在，故②错；
对于③，函数$y=sin（x+\frac{3π}{2}）$=-cosx是偶函数，故③对；
对于④，由sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，为最小值，
则x=$\frac{π}{8}是函数y=sin（2x+\frac{5π}{4}）$的一条对称抽方程，故④对；
对于⑤若α，β是第一象限的角且α＞β，可令α=390°，β=30°，
则sinα=sinβ，故⑤错；
对于⑥，若α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），tanα＜$\frac{1}{tanβ}$，则tanα＜0，tanβ＜0，
即为$\frac{tanαtanβ-1}{tanβ}$＜0，可得tanαtanβ-1＞0，tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$＞0，
由α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），可得π＜α+β＜2π，结合tan（α+β）＞0，可得π＜α+β＜$\frac{3}{2}$π，故⑥对．
故答案为：③④⑥．

点评 本题考查向量垂直和平行的条件，考查三角函数的奇偶性和单调性、对称性的判断和运用，考查推理和运算能力，属于中档题．