Question

【题目】已知函数，则下列判断中是真命题的有（ ）．

①，；②是偶函数；③对于任意一个非零有理数，，；④存在三个点，，，使得为等边三角形．

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根据函数的对应法则，可知无论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；

②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；

③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，，，三点恰好构成等边三角形．

①∵当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，

∴当x为有理数时，＝f(1)＝1；当x为无理数时，＝f(0)＝1，

即无论x是有理数还是无理数，均有＝1，故①正确；

②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，

∴对任意x∈R，都有，故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，对x∈R恒成立，故③正确；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，

∴，，，恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

即真命题的个数是4个，

故选：B．