Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点.

（1）求证：PA∥平面MDB；

（2）求三棱锥A﹣BDM的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连结AC，交BD于O，连结OM，推导出OM∥PA，由此能证明PA∥平面MDB.

（2）三棱锥A﹣BDM的体积VA﹣BDM＝VM﹣ABD，由此能求出结果.

（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，如图：

∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，

∵点M为PC的中点.∴OM∥PA，

∵平面BDM，平面BDM，

∴PA∥平面MDB.

（2）取AD中点N，连结PN，

∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，

△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，

∴PN⊥平面ABCD，PN，

M到平面ABD的距离d，

S△ABD，

∴三棱锥A﹣BDM的体积为：VA﹣BDM＝VM﹣ABD.