Question

若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax-1的切线，则a的值为

4或-

11

4

．

．

Answer 1

分析：设出直线y=x与曲线y=x³-3x²+ax-1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a的方程，再由切点在直线y=x上得另一方程，两个方程联立可求a的值．

解答：解：由y=x³-3x²+ax-1，得：y^′=3x²-6x+a．
设直线y=x与曲线y=x³-3x²+ax-1切于（x0，x03-3x02+ax0-1），
又y′|x=x0=3x02-6x0+a，所以，3x02-6x0+a=1①
由（x0，x03-3x02+ax0-1）在直线y=x上，
∴x03-3x02+ax0-1=x0②
由①得，a=1+6x0-3x02③
把③代入②得：x03-3x02+(1+6x0-3x02)•x0-1=x0
整理得：2x03-3x02+1=0，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
所以，x₀=1或x0=-

1

2

．
当x₀=1时，a=1+6×1-3×1²=4．
当x0=-

1

2

时，a=1+6×(-

1

2

)-3×(-

1

2

)2=1-3-

3

4

=-

11

4

．
所以a的值为4或-

11

4

．
故答案为4或-

11

4

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是对应曲线上在该点处的切线的斜率，考查了利用因式分解求解一元三次方程．此题是中档题．