Question

已知C₀：x²+y²=1和C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C₁上任意一点P，均存在以P为顶点，与C₀外切，与C₁内接的平行四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：利用PQRS是与C₀外切，与C₁内接的平行四边形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，设出P，Q的坐标，在直角△POQ中，可得

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=1，利用点在曲线上，即可求得结论．

解答：解：设PQRS是与C₀外切，与C₁内接的平行四边形，则PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

设P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
则在直角△POQ中，

r

2 1

+

r

2 2

=

r

2 1

r

2 2

，即

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=1
∵

r 2 1 cos2θ

a2

+

r 2 1 sin2θ

b2

=1，即

1

r 2 1

=

cos2θ

a2

+

sin2θ

b2

同理，

1

r 2 2

=

sin2θ

a2

+

cos2θ

b2

，相加可得

1

a2

+

1

b2

=1
反之，若

1

a2

+

1

b2

=1成立，则取P（r₁cosθ，r₁sinθ），Q（r₂cos（θ+90°），r₂sin（θ+90°）），
可得即

1

r 2 1

=

cos2θ

a2

+

sin2θ

b2

，

1

r 2 2

=

sin2θ

a2

+

cos2θ

b2

，
∴

1

r 2 1

+

1

r 2 2

=

1

a2

+

1

b2

=1
此时PQ与C₂相切，即存在满足条件的平行四边形．

点评：本题考查圆与椭圆知识的综合，考查学生的分析解决问题能力，考查计算能力，综合性强．