如图.以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E.F两点.∠ACB=60°.则EF= ．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=

．

分析：由圆的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得，△CEF∽△CBA，则我们可以找到EF与已知长度的AB边之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由∠ACB=60°及AB为直径，我们不难求出相似比代入求解即可．

解答：

证明：如图，连接AE，
∵AB为圆的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°
又∵∠ACB=60°
∴CA=2CE
由圆内接四边形性质易得：
∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的）
又因为∠C=∠C
△CEF∽△CBA
∴

又∵AB=4
∴EF=2

点评：本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质，其中30°所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键点，当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．

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如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

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如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）设CD与平面AOB所成角的最大值为α，求tanα值．

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如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C为直二面角．D是AB的中点．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

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如图1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图2）．
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE；
（4）求异面直线AD′与BC所成的角．

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如图，在△AOB中，∠OAB=

，斜边AB=4．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D的斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）D为AB上一点，当AD=

DB时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（Ⅲ）求CD与平面AOB所成最大角的正切值．

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