Question

求解下列问题
（1）求函数的定义域；
（2）求f（x）=sin（）的单调增区间；
（3）函数f（x）=为奇函数，求k的值．

Answer 1

解：（1）要使原函数有意义，
则，
解①得：（k∈Z），
解②得：（k∈Z）．
所以，（k∈Z）．
所以，原函数的定义域为（k∈Z）．
（2）令，
则内层函数为减函数，
由，
即，
解得：．
即（k∈Z）．
所以，函数f（x）=sin（）的单调增区间为：
（k∈Z）．
（3）由函数f（x）=为奇函数，
则f（-x）+f（x）=0恒成立，
即恒成立，
整理得：，
所以，（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立．
即k²-1=0恒成立．
所以，k=1 或k=-1．
所以，使函数f（x）=为奇函数的k的值为1或-1．
分析：（1）由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立后求解三角不等式即可得到函数的定义域；
（2）给出的函数是正弦型的复合函数，且内层函数为减函数，只要让在正弦函数的减区间内求解x的取值范围即可，最后用区间表示；
（3）根据函数是奇函数的定义，由f（-x）+f（x）=0恒成立，列式后得（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立，也就是k²-1=0恒成立，则k的值可求．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了函数的奇偶性，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，运用函数奇偶性求解参数时，注意等式恒成立的条件，此题是中档题．