Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣k）ex+k，k∈Z，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+5＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=0时，f（x）=xex，

∴f′（x）=ex+xex=ex（x+1），

∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0；

当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，+∞）上是增函数

（2）解：不等式f（x）+5＞0恒成立（x﹣k）ex+k+5＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，

令F（x）=（x﹣k）ex+k+5，F′（x）=ex（x﹣k+1），（x∈R）

当x∈（﹣∞，k﹣1）时，f′（x）＜0；

当x∈（k﹣1，+∞）时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（﹣∞，k﹣1）上是减函数，在（k﹣1，+∞）上是增函数，

①k﹣1≤0时，即k≤1时，当x∈（0，+∞）时，F（x）＞F（0）≥0即可

而F（0）=5＞0恒成立，∴k≤1符合题意．

②k﹣1＞0时，即k＞1时，当x∈（0，+∞）时，F（x）min=F（k﹣1）=﹣ek﹣1+5+k＞0即可

令h（k）=﹣ek﹣1+5+k，h′（k）=1﹣ek﹣1＜0恒成立，即h（k）=﹣ek﹣1+5+k单调递减

又∵h（2）=﹣e+7＞0，h（3）=﹣e2+8＞0，h（4）=﹣e3+3＜0，

∴1＜k≤3

综上，k的最大值为3

【解析】（1）当k=0时，f（x）=xex，得f′（x）=ex+xex=ex（x+1），讨论导数的符号，确定单调区间．（2）不等式f（x）+5＞0恒成立（x﹣k）ex+k+5＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，令F（x）=（x﹣k）ex+k+5，F′（x）=ex（x﹣k+1）（x∈R），可得f（x）在（﹣∞，k﹣1）上是减函数，在（k﹣1，+∞）上是增函数，分两种情况讨论：①k﹣1≤0，②k﹣1＞0．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．