Question

已知直线l：y=kx，圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（I）当b=1时，求k的值；
（II）若k＞3时，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当b=1时，代入到圆方程可发现点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，所以P、Q比在圆直径上，即可得圆心一定在直线l上，代入即可得到答案．
（2）先设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组可得到两根之和、两根之积的关系式，再根据MP⊥MQ，即，可得x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，代入可得答案．
解答：解：（1）∵C：x²+y²-2x-2y+1=0∴b=1时，点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，圆心（1，1）在直线直线l：y=kx上，故k=1
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立方程组，⇒（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，．
∵MP⊥MQ∴，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴
当b=0时，此式不成立，
从而．
又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴
令函数，当t＞2时，，g（t）＞5，从而
解此不等式，可得或
点评：本题主要考查直线和圆的方程的有关问题．一般思路将直线方程和圆方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，再代入有关关系式即可．