Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明 （其中n∈N* ， e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ，定义域（0，+∞），
当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上递减；
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=a，此时f'（x），f（x）随的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	增	极大值	减

∴f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）．
综上，当a≤0时，f（x）的递减区间为（0，+∞）；此时无增区间；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）；
（Ⅱ）解：由题意得f（x）max≤0，
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递减， ，不合题意；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），∴f（x）max=f（a），
∴f（a）=alna﹣a+1≤0，令g（x）=xlnx﹣x+1（x＞0），则g'（x）=lnx，
因此，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（x）min=g（1）=0，
∴alna﹣a+1≤0的解只有a=1．
综上得：实数a的取值集合为{1}；
（Ⅲ）证明：要证不等式 ，
两边取对数后得 ，
即证 ，
令 ，则只要证 ，
由（Ⅰ）中的单调性知当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，2]上递减，因此f（x）＞f（1），
即lnx﹣x+1＜0，∴lnx＜x﹣1（1＜x≤2）
令 ，则 ，∴φ（x）在（1，2]上递增，
∴φ（x）＞φ（1），即 ，则 ．
综上，原命题得证
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，转化为f（x）max≤0，分类求出f（x）max ， 求解不等式可得实数a的取值范围；（Ⅲ）把要证的不等式变形，然后借助于（Ⅰ）中的函数的单调性证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．