Question

已知函数f ( x )的图像过点（3，5），且与函数的图像关于直线x－y－1 = 0成轴对称图形．（Ⅰ）求函数f ( x )的解析式及其定义域；

（Ⅱ）如果f ( x－1 ) + f ( y－2 ) > f ( y ) + 1，求证：

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设P(x，y)是函数y = f ( x )图像上任一点，P点关于直线x－y－1 = 0的对称点为Q（a，b）． 则 解得  a = y+1，b = x－1． ∵ 点Q ( y+1，x－1 )在函数g ( x )的图像上，∴ ． 由此可解得 y = 2 log 2 (x－1+a) + 1． 又 f ( 3 ) = 5，可确定a = 2． ∴ f ( x ) = 2 log 2 (x + 1) + 1，其定义域为（－1，+∞） （Ⅱ）由 f (x－1) + f ( y－2)> f ( y ) + 1 及（Ⅰ）可得 log2x + log2 (y－1) > log 2 ( y+1)   由  x (y－1) > y+1，且y－1>0得  ． ∴ ．

提示：

对于（Ⅰ）应注意把解析几何中求与已知曲线关于已知直线对称的曲线的方程的方法运用于此．对于（Ⅱ）把函数值的不等式转化成自变量的不等式时，要注意函数单调性