Question

（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=

x2

1+x

．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤

x2

1+x

；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+

1

n

)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

，g′(x)=

x2+2x

(1+x)2

，则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程．
（Ⅱ）令函数h(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，定义域是（-1，+∞），h′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，则u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，则v′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，由此能够证明ln2(1+x)≤

x2

1+x

．（Ⅲ）由题意可知不等式 (1+

1

n

)n+a≤e对任意的n∈N^*都成立，且不等式(1+

1

n

)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，由此能求出a的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

，g′(x)=

x2+2x

(1+x)2

，
则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函数h(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，定义域是（-1，+∞），h′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，
设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
则u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，则v′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，
当-1＜x＜0时，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以v（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函数u（x）在（-1，+∞）上为减函数…（5分）
于是当-1＜x＜0时，u（x）＞u（0）=0，当x＞0时，u（x）＜u（0）=0，
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故h（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即ln2(1+x)-

x2

1+x

≤0，ln2(1+x)≤

x2

1+x

…（8分）
（Ⅲ）由题意可知不等式 (1+

1

n

)n+a≤e对任意的n∈N^*都成立，
且不等式(1+

1

n

)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，
由1+

1

n

＞1知，a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，设F(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈(0，1]，
则F′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

…（10分）
由（Ⅱ）知，ln2(1+x)≤

x2

1+x

，
即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上为减函数．
故函数F（x）在（0，1]上的最小值为F(1)=

1

ln2

-1，
所以a的最大值为

1

ln2

-1…（13分）

点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查不等式的证明，考查实数的最大值的求法．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．