2014年11月22日.央行决定11月22日起下调金融机构人民币贷款和存款基准利率.在降息等政策利好下.部分城市楼市呈现止跌企稳.一线城市房价环比小幅反弹,中国股市月内走出一波又一波上涨行情．在股票市场上.投资者常常参考股价的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票．某股民老张在研究股票的走势图时.发现一只股� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2014年11月22日，央行决定11月22日起下调金融机构人民币贷款和存款基准利率，在降息等政策利好下，部分城市楼市呈现止跌企稳，一线城市房价环比小幅反弹；中国股市月内走出一波又一波上涨行情．在股票市场上，投资者常常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．某股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．现在老张决定取A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得$ω=\frac{π}{72}$．
（Ⅰ）请你帮老张算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）．
（Ⅱ）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？如他在今天以B点处价格买入该股5000股，在今天以D点处价格卖出的话，他能亏多少元？

分析（Ⅰ）由C，D关于直线l对称，可得C的坐标（24，16），将A，B，C的坐标代入解析式，可得a，b，φ，以及F的横坐标；
（Ⅱ）求得F的纵坐标，即有老张能赚5000×（25-16）；求得D的纵坐标，可得老张可能亏5000×（19-16）元．

解答解：（Ⅰ）由C，D关于直线l对称，
即有C点坐标为（2×34-44，16）即（24，16），
把A、B、C的坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{22=asinφ+b}\\{19=asin（\frac{π}{6}+φ）+b}\\{16=asin（\frac{π}{3}+φ）+b}\end{array}\right.$，
第二式减去第一式，得a[sin（$\frac{π}{6}$+φ）-sinφ]=-3，
第三式减去第一式，得a[sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ]=-6，
可得2sin（$\frac{π}{6}$+φ）-2sinφ=sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ，
可得cosφ+$\sqrt{3}$sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ，
即（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosφ=（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）sinφ=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1）sinφ，
即为tanφ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜φ＜π，可得φ=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
代入第二式，得b=19，
再由第一式，得a=6，
即为a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$．
于是，ABC段的解析式为y=6sin（$\frac{π}{72}$x+$\frac{5π}{6}$）+19，
由对称性得，DEF段的解析式为y=6sin[$\frac{π}{72}$（68-x）+$\frac{5π}{6}$]+19，
由$\frac{π}{72}$（68-x_F）+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x_F=92，
即有当x=92时，股价见顶；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，y_F=6+19=25，
故这次操作老张能赚5000×（25-16）=45000元．
由（1）可知y_E=19，y_D=16，
故这次操作老张可能亏5000×（19-16）=15000元．

点评本题考查函数模型的应用题的解法，考查三角函数的性质和运用，考查运算能力，属于中档题．

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