Question

（本小题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

    (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数的最小值；

    (Ⅲ)设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：

∵上是增函数，

∴  对任意恒成立，         ……………………2分

∴∵ ∴b的取值范围为……………4分

（Ⅱ）设，即 …5分

∴当上为增函数，当t=1时，…6分

当…………7分

当上为减函数，当t=2时，…………8分

综上所述，

…………9分

（Ⅲ）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为

C₁在M处的切线斜率为  C_­2­在点N处的切线斜率

假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则

即

则

 ，…………12分

设…………………………①

令则

∵      ∴     

所以上单调递增，故 ，  则

这与①矛盾，假设不成立,故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.……14分