Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，且它的离心率与双曲线x²-y²=2的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF₁的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）易知2a=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而解得；
（2）①设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则C（-x_A，-y_A），从而设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，从而可得x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，y_A+y_B=k$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，从而证明．
②分情况讨论以分别确定△ABC的面积的取值范围，从而解得．

解答 解：（1）由椭圆的定义知2a=2$\sqrt{2}$，
双曲线x²-y²=2的离心率为$\sqrt{2}$，
故椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1；
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①证明：设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则C（-x_A，-y_A），
设直线BA的方程为y=k（x+1），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化简得，
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
y_A+y_B=k（x_A+x_B）+2k=k（-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$+2）=k$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，
∴k_ABk_BC=k•$\frac{{y}_{B}+{y}_{A}}{{x}_{B}+{x}_{A}}$=$\frac{2{k}^{2}}{-4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
②当直线AB的斜率不存在时，
可知A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故S_△ABC=$\sqrt{2}$，
当直线AB的斜率存在时，由①知，
x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x_Ax_B=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
故|x_A-x_B|=$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=$2\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，
故|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_A-x_B|
=$2\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，
点C到直线AB的距离d=$\frac{|k（-{x}_{A}+1）+{y}_{A}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•（$2\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$）•$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（2{k}^{2}+1）^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4（2{k}^{2}+1）^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
故△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}$，此时AB的方程为x+1=0．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，关键在于化简运算．