Question

（2009•惠州模拟）（1）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

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，求f（x）的解析式；
（2）设f（x）=x²-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求a，b，c．
（2）要求当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，实质是求函数f（x）在[-1，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设f(x)=a(x-

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)2-

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4

，（a＞0）
又f（0）=0，∴a=1．
故f（x）=x²-x…（4分）
（2）要使x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
当a≤-1时，f（x）_min=f（-1）=3+2a…（6分）
即3+2a≥a?a≥-3
故此时-3≤a≤-1…（8分）
当a＞-1时，f(x)min=f(a)=a2-2a2+2=2-a2，
若x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
即2-a²≥a?a²+a-2≤0?-2≤a≤1
故此时-1＜a≤1…（12分）
综上当-3≤a≤-1时，x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立             …（14分）

点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数在给定区间上的最值求法，要求利用数形结合的思想去求解．