Question

7．已知椭圆C₁过点（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），抛物线C₂的焦点在x轴上，过点（3，-2$\sqrt{3}$）
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过点C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N，且满足$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则点（3，-2$\sqrt{3}$）代入，可得p=2；设椭圆方程为mx²+ny²=1，利用椭圆C₁过点（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求出m，n，可得椭圆方程．
（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由y=k（x-1）代入椭圆方程消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．

解答 解：（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则点（3，-2$\sqrt{3}$）代入，可得p=2，
∴C₂：y²=4x；
设椭圆方程为mx²+ny²=1，
∵椭圆C₁过点（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴4m=1，2m+$\frac{1}{2}$n=1，
∴m=$\frac{1}{4}$，n=1，
∴椭圆方程为$\frac{1}{4}$x²+y²=1；
（2）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=k（x-1）代入椭圆方程，消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
于是x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$②
由$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，得$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0
解得k=±2；
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．