Question

已知数列{a_n}满足

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

3

8

(32n-1)，n∈N*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=1og3

an

n

，求数列{

bn

2n

}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由题设条

1

a1

=3，

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

）=3^2n-1，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=log₃

an

n

=-（2n-1）=1-2n，知

bn

2n

=

1-2n

2n

．由此利用错位相减法能求出数列{

bn

2n

}的前n项和S_n．

解答：解：（I）∵数列{a_n}满足

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

3

8

(32n-1)，n∈N*，
∴

1

a1

=

3

8

（3²-1）=3，…（1分）
当n≥2时，∵

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

）
=

3

8

（3²ⁿ-1）-

3

8

（3^2n-2-1）=3^2n-1，…（5分）
当n=1，

n

an

=3^2n-1也成立，所以a_n=

n

32n-1

．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₃

an

n

=-（2n-1）=1-2n，…（7分）
∴

bn

2n

=

1-2n

2n

．
∴数列{

bn

2n

}的前n项和S_n=

1-2

2

+

1-2×2

22

+

1-2×3

23

+…+

1-2n

2n

，

1

2

Sn=

1-2

22

+

1-2×2

23

+

1-2×3

24

+…+

1-2n

2n+1

，
∴

1

2

S_n=-

1

2

-（

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

）-

1-2n

2n+1

=-

1

2

-

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

1-2n

2n+1

=-

1

2

-1+

1

2n-1

-

1-2n

2n+1

，
∴Sn=

4

2n

-

1-2n

2n

-3=

32n

2n

-3．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和错位相减法的合理运用．