Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₀=

1

2

，a_n=a_n-1+

1

n2

a

2 n-1

，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求证：

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

；
（3）求证：

n+1

n+2

＜an＜n．

Answer 1

分析：（1）根据递推关系a_n=a_n-1+

1

n2

a

2 n-1

，即可求出a₁和a₂的值；
（2）利用放缩法可得an=an-1+

1

n2

a

2 n-1

＜an-1+

1

n2

anan-1，然后两边同时除以a_na_n-1即可得到结论；
（3）根据（2）可得a_n＜n，从而an-1＞

n2

n2+n-1

an，即

1

an-1

-

1

an

＞

1

n2+n-1

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

a1

-

1

an

=

1

2

-

1

n+1

，而a1=

3

4

，从而

1

an

＜

5

6

+

1

n+1

＜1+

1

n+1

=

n+2

n+1

，∴a n＞

n+1

n+2

，即可证得结论．

解答：解：（1）∵a0=

1

2

，
∴a1=

1

2

+(

1

2

)2=

3

4

，a2=

3

4

+

1

4

×(

3

4

)2=

57

64

．
（2）∵a_n-a_n-1=

1

n2

a

2 n-1

＞0，
∴an=an-1+

1

n2

a

2 n-1

＜an-1+

1

n2

anan-1，∴

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

．
（3）

1

a0

-

1

an

=(

1

a0

-

1

a1

)+(

1

a1

-

1

a2

)+…(

1

an-1

-

1

an

)＜1+

1

22

+

1

32

…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

又a0=

1

2

，
∴a_n＜n．
∵an=an-1+

1

n2

a

n-1 2

＜an-1+

1

n2

(n-1)•an-1=

n2+n-1

n2

an-1，
∴an-1＞

n2

n2+n-1

an．
∴an=an-1+

1

n2

a

2 n-1

＞an-1+

1

n2

an-1•

n2

n2+n-1

a n=an-1+

n2

n2+n-1

a nan-1．
∴

1

an-1

-

1

an

＞

1

n2+n-1

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a1

-

1

an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…(

1

an-1

-

1

an

)＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

．
∵a1=

3

4

，∴

1

an

＜

5

6

+

1

n+1

＜1+

1

n+1

=

n+2

n+1

，∴a n＞

n+1

n+2

．
综上所述，

n+1

n+2

＜an＜n．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合运用，同时考查了计算能力，属于难题．