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如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为,试求所有满足条件的点P的坐标.

【答案】分析:(Ⅰ)由题意知双曲线C2的焦点为F1(-2,0)、F2(2,0),设A(x,y)在抛物线C1:y2=8x上,且|AF2|=5,由抛物线的定义得,x+2=5,x=3,,由此可知双曲线的方程.
(Ⅱ)设圆M的方程为:(x+2)2+y2=r2,双曲线的渐近线方程为:,故圆M:(x+2)2+y2=3.由此入手可推导出所有满足条件的点P的坐标.
解答:解:(Ⅰ)∵抛物线C1:y2=8x的焦点为F2(2,0),
∴双曲线C2的焦点为F1(-2,0)、F2(2,0),(1分)
设A(x,y)在抛物线C1:y2=8x上,且|AF2|=5,
由抛物线的定义得,x+2=5,∴x=3,(2分)
∴y2=8×3,∴,(3分)
,(4分)
又∵点A在双曲线上,
由双曲线定义得,2a=|7-5|=2,∴a=1,(5分)
∴双曲线的方程为:.(6分)
(Ⅱ)设圆M的方程为:(x+2)2+y2=r2
双曲线的渐近线方程为:
∵圆M与渐近线相切,∴
圆M的半径为,(7分)
故圆M:(x+2)2+y2=3,(8分)
设点P(x,y),则l1的方程为y-y=k(x-x),
即kx-y-kx+y=0,l2的方程为
即x+ky-x-ky=0,
∴点M到直线l1的距离为
点N到直线l2的距离为
∴直线l1被圆M截得的弦长
直线l2被圆N截得的弦长,(11分)
由题意可得,
即3(x+ky-2)2=(2k+kx-y2

②(12分)
由①得:
∵该方程有无穷多组解,
,解得
点P的坐标为.(13分)
由②得:
∵该方程有无穷多组解,
,解得
点P的坐标为
∴满足条件的点P的坐标为.(14分)
点评:本题考查圆锥曲线的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,C1与C2在第一象限的交点为P(
3
1
2

(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C2交于不同两点A、B,点M满足
AM
+
BM
=
0
,直线FM的斜率为k1,试证明k•k1
-1
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•河北模拟)如图,抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C1上的点,以F为圆心,
p
2
为半径的圆与线段AF的交点为B,∠AFx=60°,A在y轴上的射影为N,则∠ONB=(  )

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科目:高中数学 来源:山东省模拟题 题型:解答题

如图,抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C2的离心率,C1与C2在第一象限的交点为
(Ⅰ)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C2交于不同两点A,B,点M满足,直线FM的斜率为k1,试证明

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科目:高中数学 来源:2013年辽宁省高考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x,y)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x=1-时,切线MA的斜率为-
(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

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科目:高中数学 来源:2013年辽宁省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x,y)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x=1-时,切线MA的斜率为-
(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

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