Question

14．函数f（x）=log₂[ax²+（a+2）x+2（a+2）]在[a+2，2（a+2）]上恒有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解决此类问题时，需要对二次函数的系数进行分类讨论，且熟悉二次函数根与系数的关系．

解答 当a=0时，f（x）=log₂（2x+4）在区间[2，4]上恒有意义；
当a＞0时，令g（x）=ax²+（a+2）x+2（a+2），分三种情况讨论：
①$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a+2}{2a}≤a+2}\\{g（a+2）＞0}\end{array}\right.$，解得a＞0；
②$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a+2}{2a}≥2（a+2）}\\{g（a+2）＞0}\end{array}\right.$，解得a＞0；
③$\left\{\begin{array}{l}{△=（a+2）^{2}-8a（a+2）}\\{a+2＜-\frac{a+2}{2a}＜2（a+2）}\end{array}\right.$此时a无解
当-2＜a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{g（a+2）＞0}\\{g（2（a+2））＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞-2；
综上所述a∈{a|a＞-2}．

点评 须注意a=0时的情况，以免漏掉导致失误．