Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}+\frac{3}{4}，}&{x≥2}\\{lo{g}_{2}x，}&{0＜x＜2}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-k=0有且只有1个根，则实数k的取值范围是k≤$\frac{3}{4}$或k=1．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有1个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．

解答 解：①当x≥2时，f（x）在[2，+∞）上单调递减，且$\frac{3}{4}$＜f（x）≤1；
②当0＜x＜2时，f（x）在（0，2）上单调递增，且f（x）＜1；
由g（x）=f（x）-k有且只有1个根可化为y=f（x）与y=k的1个交点，
则k≤$\frac{3}{4}$或k=1．
故答案为：k≤$\frac{3}{4}$或k=1．

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．