Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=-a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知数列{a_n}是以2为公比的等比数列．再由a₃+2是a₂，a₄的等差中项，可知a₁=2，所以数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由题设条件知，b_n=-n•2ⁿ，由此可知S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ，2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，再由错位相减法可知使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=-a_nlog₂a_n得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n³5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．