Question

（2013•深圳二模）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin（2C-

π

2

）=

1

2

且a²+b²＜c²．
（1）求角C的大小；
（2）求

a+b

c

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用诱导公式化简求出cos2C的值，由已知不等式，利用余弦定理得到C为钝角，即可确定出C的度数；
（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．

解答：解：（1）∵sin（2C-

π

2

）=-sin（

π

2

-2C）=-cos2C=

1

2

，
∴cos2C=2cos²C-1=-

1

2

，即cos²C=

1

4

，
∵a²+b²＜c²，即a²+b²-c²＜0，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，即C为钝角，
∴cosC=-

1

2

，即C=120°；
（2）由正弦定理化简

a+b

c

得：

sinA+sinB

sinC

=

sinA+sin(60°-A)

sin120°

=

2sin 1 2 (A+60°-A)cos 1 2 (A-60°+A)

3 2

=

2 3

3

cos（A-30°），
∵

3

2

≤cos（A-30°）≤1，即1≤

2 3

3

cos（A-30°）≤

2 3

3

，
则

a+b

c

的取值范围是[1，

2 3

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，和差化积公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义与与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．