Question

（2013•杭州一模）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和⊙M：x²+y²+8x-12=0，过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（y₀≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为

9

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁•k₂₌

1

2

，求点P（x₀，y₀）的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义即可得出；
（Ⅱ）利用两圆的根轴即可得出；
（Ⅲ）利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由⊙M：x²+y²-8x+12=0，配方得（x-4）²+y²=4，∴圆心M（4，0），半径r=2．
由题意知：4+

p

2

=

9

2

，解得p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x．     
（Ⅱ）设P（2，2），∵P，A，B，M四点共圆，∴此圆的方程为：（x-4）（x-2）+（y-2）（y-0）=0，①
又⊙M：x²-8x+y²+12=0，②
又由①-②得直线AB的方程：x-y-2=0．                        
（Ⅲ）设过P的直线l方程为y-y₀=k（x-x₀），由于⊙M与直线l相切，得到

|4k+y0-kx0|

1+k2

=2，
整理得到：(

x

2 0

-8x0+12)k2+[2y0(4-x0)]k+

y

2 0

-4=0，
∴k1•k2=

y 2 0 -4

x 2 0 -8x0+12

=

1

2

，即

x

2 0

-12x0+20=0，∴x₀=2或10，
经检验得点P坐标为(10，2

5

)．

点评：熟练掌握抛物线的定义、两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关键．