Question

（2012•商丘三模）已知不等式2|x-3|+|x-4|＜2a．
（Ⅰ）若a=1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于不等式 2|x-3|+|x-4|＜2，分x≥4、3＜x＜4、x≤3三种情况分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，由此求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）对于不等式 2|x-3|+|x-4|＜2，
①若x≥4，则3x-10＜2，x＜4，∴舍去．
②若3＜x＜4，则x-2＜2，∴3＜x＜4．
③若x≤3，则10-3x＜2，∴

8

3

＜x≤3．
综上，不等式的解集为{x|

8

3

＜x＜4}． …（5分）
（Ⅱ）设f（x）=2|x-3|+|x-4|，则f（x）=

3x-10 ， x≥4 x-2 ， 3＜x＜4 10-3x ， x≤3

，∴f（x）≥1．
要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，
故 2a＞1，∴a＞

1

2

，
即a的取值范围（

1

2

，+∞）．  …（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．