Question

二次函数f(x)=ac²+bx+c(a、b、c∈Z)的图像按向量n=(-1，0)平移后关于y轴对称，方程f(x)-x=0的两根为α、β，且α∈(0，2)，β∈(2，4)，β-α=．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)=x³-3x²-6x+m，若存在常数k，使得函数g(x)、f(x)在区间[-2，2]上的图像分别在直线y=k的上方和下方，试求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）二次函数f(x)的对称轴为-

∵左移1个单位后与y轴重合

∴-=1,即b=-2a 

f(x)=ax²-2ax+c  令H(x)=f(x)-x

即ax²-(2a+1)x+c=0的两根分别在（0,2）和(2,4)中

1 当a＞0时，有

由∈Z得c=1,a＞ 

由|β-α|=

解得a=1或a=-1(舍去)  f(x)=x²-2x+1 

2 当a＜0时，有  无解

综上可知f(x)=x²-2x+1 

（2）由题意，知当x∈[-2,2]上，f(x)_max＜g(x)_min 

当-2≤x≤2时，f(x)_max=9  （9分）

(x)=3x²-6x-6=3[x-(1-)][x-(1+)]

∵当x＞1+时，(x)＞0,在(1+,+∞)上g(x)为增函数

当1-＜x＜1+时(x)＜0,在(1-,1+)上，g(x)为减函数

当x＜1-时，(x)＞0,在(-∞,1-)上g(x)为增函数 

∴g(x)在[-2,1-]上为增函数,在[1-,2]上是减函数

又∵g(-2)=m-8,g(2)=m-16  ∴g(-2)＞g(2) 

∴在[-2,2]上，g(x)_min=g(2)=m-16 

  ∴m-16＞9,即m＞25