Question

给出下列命题：
①若a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，则a²+b²+c²≥

1

3

；
②已知x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，若不等式m²-8m-x-y＜0恒成立，则实数m的取值范围为（-1，9）；
③不等式1＜|3x+4|≤4的解集为（-1，0]；
④关于x的不等式|x-1|+|x+2|＜m的解集不是空集，则m＞3．
其中正确的命题个数为（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1⇒（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，利用基本不等式，可得a²+b²+c²≥

1

3

，可判断①；
②，由x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，利用乘“1”法可求得（x+y）_min=9，m²-8m＜x+y恒成立?m²-8m＜（x+y）_min=9恒成立，解之即可判断②；
③，解绝对值不等式1＜|3x+4|≤4，可判断③；
④，利用绝对值不等式的几何意义，易求不等式|x-1|+|x+2|≥3，依题意，可判断④．

解答： 解：①∵a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）=3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取“=”），故①正确；
②∵x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=1+

y

x

+

4x

y

+4≥5+2

y x • 4x y

=9，即（x+y）_min=9．
∵不等式m²-8m-x-y＜0恒成立，
∴m²-8m＜x+y恒成立，即m²-8m＜（x+y）_min=9，解得：-1＜m＜9，
∴实数m的取值范围为（-1，9），故②正确；
③由1＜|3x+4|≤4得：-4≤3x+4＜-1或1＜3x+4≤4，解得-

8

3

≤m＜-

5

3

或-1＜m≤0，
故不等式1＜|3x+4|≤4的解集为[-

8

3

，-

5

3

）∪（-1，0]，故③不正确；
④∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴关于x的不等式|x-1|+|x+2|＜m的解集不是空集，则m＞3，故④正确．
综上所述，正确的命题个数为3个，
故选：B．

点评：本题考查基本不等式的性质与应用，考查恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．