Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2a对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）不等式即|x-1|+|x-4|≥6，通过去绝对值符号，列出不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）利用f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，由题意可得|a-1|≥2a，由此此解得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥6，即|x-1|+|x-4|≥6，等价于

x＜1 -2x+5≥6

，或

1≤x≤4 3≥6

，或 

x＞4 2x-5≥6

．
解得：x≤-

1

2

或 x≥

11

2

．
故不等式f（x）≥6的解集为 {x|x≤-

1

2

，或 x≥

11

2

}． …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（当x=1时等号成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由题意得：|a-1|≥2a，⇒

a＞0 (a-1)2≥4a2

或a≤0，
⇒0＜a≤

1

3

，或a≤0，
解得a的取值范围：a≤

1

3

 …（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题．