Question

求函数y=x²-2|x|-1的单调性并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答： 解：∵函数y=x²-2|x|-1=（|x|-1）²-2为偶函数，
∴作出函数的图象如图：由图象可知函数在x＜-1和0＜x＜1时，函数单调递减，
在x＞1和-1＜x＜0时，函数单调递增．
当x≥0时，y=x²-2|x|-1=x²-2x-1，y'=f'（x）=2x-2，
由f'（x）=2x-2＞0得x＞1，此时函数单调递增，
由f'（x）=2x-2＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，
当x＜0时，y=x²-2|x|-1=x²+2x-1，y'=f'（x）=2x+2，
由f'（x）=2x+2＞0得-1＜x＜0，此时函数单调递增，
由f'（x）=2x+2＜0得x＜-1，此时函数单调递减，
综上：函数的单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞），
单调递减区间为（0，1）和（-∞，-1）．

点评：本题主要考查二次函数单调性的判断，利用导数是解决函数单调性比较简单的方法．