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    求证：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    2n-1
    ＞
    n-2
    2
    （n≥2）．
    分析：题干错误：：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    2n-1
    ＞
    n-2
    2
    ，应该是：：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    2n-1
    ＞
    n-2
    2
    ，请给修改
    解答：证明：①当n=2时，左=
    1
    2
    ＞0=右，
    ∴不等式成立．
    ②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立．
    即
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    2k-1
    ＞
    k-2
    2
    成立．
    那么n=k+1时，
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    2k-1
     
    +
    1
    2k-1+1
    +…+
    1
    2k-1+2k-1

    ＞
    k-2
    2
    +
    1
    2k-1+1
    +…+
    1
    2k
    ＞
    k-2
    2
    +
    1
    2k
    +
    1
    2k
    +…+
    1
    2k

    =
    k-2
    2
    +
    2k-1
    2k
    =
    (k+1)-2
    2
    ，
    ∴当n=k+1时，不等式成立．
    据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立
    点评：本题主要考查
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+
    1-a
    x+1
    （a＞
    1
    2
    ）．
    （Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=2x+1垂直时，求a的值；
    （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
    （III）求证：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    n+1
    ＜ln(n+1)＜1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
       (n∈N*)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ln（x+1）．
    （1）若g(x)=
    1
    4
    x2-x+f(x)    ，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
    （2）当x＞0时，求证
    1
    1+x
    ＜f(
    1
    x
    )＜
    1
    x
    ；
    （3）当n∈N+且n≥2时，求证：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    n+1
    ＜f(n)＜1+
    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
    1
    n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    1-x
    ax
    +lnx    在[1，+∞）上为增函数．
    （1）求正实数a的取值范围；
    （2）若a=1，求证：
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    n
    ＜lnn＜n+
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    n-1
    （n∈N*且n≥2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足a1=
    1
    3
    ，  an+1=
    a
    2
    n
    a
    2
    n
    -an+1
    (n=1，2，…)    ．
    （Ⅰ）求a2，a3；
    （Ⅱ） 求证：a1+a2+…+an=
    1
    2
    -
    an+1
    1-an+1
    ；
    （Ⅲ）求证：
    1
    2
    -
    1
    32n-1
    ＜a1+a2+…+an＜
    1
    2
    -
    1
    32n
    ．

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