Question

数列{a_n}满足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求证：a₁+a₂+…+a_n=

1

2

-

an+1

1-an+1

；
（Ⅲ）求证：

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}满足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)，分别代入，即可求得a₂，a₃；
（Ⅱ）由an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

知  

1

an+1

=

1

a 2 n

-

1

an

+1，从而可得an=

an

1-an

-

an+1

1-an+1

，代入即可得出结论；
（Ⅲ） 证明

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

等价于证明

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

-

an+1

1-an+1

＜

1

2

-

1

32n

，
即证 32n-1＜

1-an+1

an+1

＜32n，再利用数学归纳法进行证明．

解答：（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)．
∴a2=

1

7

，a3=

1

43

…（2分）
（Ⅱ）证明：由an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

知  

1

an+1

=

1

a 2 n

-

1

an

+1，

1

an+1

-1=

1

an

(

1

an

-1)．                     （1）
所以    

an+1

1-an+1

=

a 2 n

1-an

=

an

1-an

-an，
即      an=

an

1-an

-

an+1

1-an+1

．                              …（5分）
从而  a₁+a₂+…+a_n=

a1

1-a1

-

a2

1-a2

+

a2

1-a2

-

a3

1-a3

+…+

an

1-an

-

a n+1

1-an+1

=

a1

1-a1

-

an+1

1-an+1

=

1

2

-

an+1

1-an+1

．                           …（7分）
（Ⅲ） 证明：

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

等价于
证明

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

-

an+1

1-an+1

＜

1

2

-

1

32n

，
即    32n-1＜

1-an+1

an+1

＜32n．                          （2）…（8分）
当n=1时，

1-a2

a2

=6，321-1＜6＜321，
即n=1时，（2）成立．
设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 32k-1＜

1-ak+1

ak+1

＜32k．
当n=k+1时，由（1）知

1-ak+2

ak+2

=

1

ak+1

(

1-ak+1

ak+1

)＞(

1-ak+1

ak+1

)2＞32k；         …（11分）
又由（1）及a1=

1

3

知 

1-an

an

(n≥1)均为整数，
从而由 

1-ak+1

ak+1

＜32k有 

1-ak+1

ak+1

≤32k-1即

1

ak+1

≤32k，
所以  

1-ak+2

ak+2

=

1

ak+1

•

1-ak+1

ak+1

＜32k•32k＜32k+1，
即（2）对n=k+1也成立．
所以（2）对n≥1的正整数都成立，
即

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

对n≥1的正整数都成立．     …（13分）
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．

点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式，考查数学归纳法，正确运用数列递推式，及数学归纳法的证题步骤是解题的关键．