Question

4．如图，DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．
（1）求证：平面DFG∥平面ABE；
（2）若AC=2BC=2CD=4，求二面角E-AB-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出FG∥AB，从而FG∥平面ABE，从而出四边形DEBG是平行四边形，从而DG∥BE，进而DG∥平面ABE，由此能证明平面DFG∥平面ABE．
（2）以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AB-C的正切值．

解答 证明：（1）∵F、G分别是AC、BC中点．
∴FG∥AB，
∵FG?平面ABE，AB?平面ABE，
∴FG∥平面ABE，
∵DE∥BC，BC=2DE，G是BC中点，
∴DE$\underset{∥}{=}$BG，∴四边形DEBG是平行四边形，
∴DG∥BE，
∵DG?平面ABE，BE?平面ABE，
∴DG∥平面ABE，
∵DG∩FG=G，DG，FG?平面DFG，
AB∩BE=B，AB，BE?平面ABE，
∴平面DFG∥平面ABE．
解：（2）∵DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．
∴以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=2BC=2CD=4，
∴A（4，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（0，1，2），
$\overrightarrow{AE}$=（-4，1，2），$\overrightarrow{AB}$=（-4，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-4，0，2），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-4x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-4x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角E-AB-C的余弦值为cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tanα=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{2}$．
∴二面角E-AB-C的正切值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．